Boog en omtrek
Omtrek van een cirkel
Reeds lang voor het begin van onze tijdrekening (zie geschiedenis van π) was men op de hoogte van volgende merkwaardige eigenschap.
Voor elke cirkel is de verhouding van de cirkelomtrek tot de diameter een constant getal. Dit constante getal noemde men π.
Van het getal weet men al lang dat het iets groter dan 3 is. In 1761 werd bewezen dat π een irrationaal getal is. Dit wil zeggen dat je het niet als een breuk (ratio) kan schrijven of — anders geformuleerd — het getal π heeft oneindig veel cijfers achter de komma zonder repeterend deel. De eerste 2000 getallen zijn:
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459 230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384 460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294 895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914 564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631 558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046 652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179 310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983 367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921 717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134 275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968 925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870 72113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083 026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083 814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937 519577818577805321712268066130019278766111959092164201989380952 572010654858632788659361533818279682303019520353018529689957736 225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168 617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098488 240128583616035637076601047101819429555961989467678374494482553 797747268471040475346462080466842590694912933136770289891521047 521620569660240580381501935112533824300355876402474964732639141 992726042699227967823547816360093417216412199245863150302861829 745557067498385054945885869269956909272107975093029553211653449 872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518 184175746728909777727938000816470600161452491921732172147723501 414419735685481613611573525521334757418494684385233239073941433 345477624168625189835694855620992192221842725502542568876717904 946016534668049886272327917860857843838279679766814541009538837 863609506800642251252051173929848960841284886269456042419652850 222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874 677646575739624138908658326459958133904780275901
Omtrek cirkel = π 2 R
Cirkelboog
We zagen in een vorige sectie al het begrip 'koorde'. Bij elke koorde hoort ook een cirkelboog (of liever: twee cirkelbogen, afhankelijk van de zin waarin je kijkt). Het verband tussen beide is vrij eenvoudig. Je ziet het geïllustreerd in onderstaand applet.
Volledige cirkel: 360 graden = 2πR
1 graad = 2πR/360
α graden = απR/180
Een rollend wiel
We passen nu bovenstaand verband toe om een animatie van een rollend wiel te bekomen. We doen een eerste — naïeve poging:
Deze animatie komt natuurlijk niet erg realistisch over. Met een beetje moeite kan je je een rollende hoepel voorstellen. Wat meer detail maakt het wiel echter 'levensechter'. We schreven hiervoor een eenvoudige macro ('8spaken.mcr'). Deze macro krijgt als invoerparameters een gegeven cirkel en een punt op de cirkel, en construeert enkele kleinere cirkels en 8 lijnstukken. Op die manier bekomen we een wiel met spaken. We hernemen nu onze eerste navigatie, maar dit keer met spaken.
Als het bedoeling was om een animatie te maken van een slippend wiel, dan zijn we prima in ons opzet geslaagd. We wilden echter een wiel laten rollen. Daarvoor maken we volgende redenering.
Bekijk een stilstaand wiel. Het maakt in 1 punt contact met de grond. Als je nu dit wiel over een hoek α draait moet het wiel (in de juiste richting) zich evenwijdig met de grond verplaatsen over een afstand gelijk aan de lengte van de boog die met deze hoek overeen komen.
booglengte = α · straal
Hierbij is wel een belangrijke opmerking te plaatsen: de hoek α wordt gemeten in radialen. PeL meet echter hoeken in graden, dus moeten we de omzetting doen naar radialen door te vermenigvuldigen met (&pi/180;).
booglengte = (α · π · straal)/180
Uit deze vergelijking moeten we de hoek α halen:
draaihoek α = (booglengte · 180)/(π · straal)
Als je dit als uitdrukking ingeeft in PeL voor de waarde van de vaste hoek, merk je dat de hoek aan de verkeerde kant staat. De afspraak in wiskunde is namelijk steeds dat de positieve draaizin overeenkomt met tegenuurwijzerzin. We moeten dus nog een minteken plaatsen voor deze uitdrukking.