Rechte en cirkel van Euler
Mediale driehoek
De driehoek gevormd door de drie middens van de zijden van een gegeven driehoek noemen we de mediale driehoek. Onderstaande figuur toont deze driehoek. Welke figuren herken je hierin (let op evenwijdigheid, afstanden,...)
De rechte van Euler
De wiskundige Leonhard Euler (1707 - 1783) is een van de belangrijkste westerse wiskundigen. Je vindt wel in elke tak van de wiskunde een stelling, een formule of een methode die zijn naam draagt. Hij werkte zowel in Sint-Petersburg als in Berlijn. Hij publiceerde honderden artikels. Zelfs toen hij blind werd in 1766 bleef hij wiskundige publicaties uitbrengen.
Bij elke driehoek hoort een rechte die de benaming 'rechte van Euler' draagt. Construeer het zwaartepunt G, het hoogtepunt H en het middelpunt van de omcirkel O. Deze drie punten blijken op één rechte te liggen. Deze rechte krijgt de naam 'rechte van Euler'. Bovendien deelt het zwaartepunt het lijnstuk OH altijd in dezelfde verhouding. Zoek deze verhouding.
De negenpuntscirkel
Deze cirkel staat ook bekend onder de benaming 'cirkel van Euler' (hij weer ...) of 'cirkel van Feuerbach'. Euler bewees volgende eigenschap:
De orthische driehoek en de mediale driehoek van een willekeurige driehoek hebben dezelfde omcirkel.
Dit betekent onder andere dat de drie voetpunten D, E en F van de hoogtelijnen en de drie middens I, J en K van de zijden allemaal op dezelfde cirkel liggen. Er liggen nog drie andere punten op deze cirkel, namelijk de middelpunten P, Q en R van de lijnstukken van de hoekpunten van de gegeven driehoek naar het hoogtepunt. Onderstaand applet toont de constructie van deze negenpuntscirkel. Het middelpunt N van deze cirkel vind je als snijpunt van de rechte van Euler met de rechte QI.