Middelloodlijnen, zwaartelijnen, hoogtelijnen en bissectrices
Inleiding
In de inleiding van dit hoofdstuk zagen we drie verschillende types van rechten in een driehoek. Deze rechten hebben een aantal interessante eigenschappen. In deze sectie gaan we daar dieper op in.
Middelloodlijnen
Een middelloodlijn is een rechte die loodrecht staat op een zijde en door het middelpunt van die zijde gaat. Onderstaande figuur toont een belangrijke eigenschap van deze drie middelloodlijnen: ze gaan door hetzelfde punt (we noemen de rechten dan 'concurrent'). Dit snijpunt is meteen ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel (of kortweg: de omcirkel). Beweeg in de figuur een van de hoekpunten. Even ter herhaling: in een applet kan je rechts klikken (keuze uit twee opties), en je kan in/uit-zoomen op de figuur (met '+' en '-') en de figuur verschuiven met de pijltjestoetsen. Wel eerst even op het applet klikken, zodat het 'in focus' is.
Onderzoek in de figuur volgende speciale gevallen:
- Is het mogelijk dat de middelloodlijnen evenwijdig lopen?
- Beschrijf zo nauwkeurig mogelijk de driehoek die je bekomt als het middelpunt van de omcirkel samenvalt met het midden van een zijde van de driehoek.
- Welke eigenschap moet de middelloodlijn hebben zodat de driehoek gelijkbenig is?
Zwaartelijnen
Een zwaartelijn of mediaan verbindt een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. Je kan er drie tekenen in een driehoek. Ook deze rechten hebben 1 punt gemeenschappelijk: het zwaartepunt G. Als je de driehoek zou uitknippen dan blijft hij balanceren op een scherpe punt als je dit zwaartepunt gebruikt. Bekijk onderstaande figuur.
Onderzoek het volgende:
- De formule voor de oppervlakte van een driehoek is: basis * hoogte / 2. Vergelijk de oppervlakte van twee driehoeken die gevormd worden door 1 zwaartelijn (bvb. ACM2 en ABM2).
- Laat zien dat de 3 zwaartelijnen de driehoek ABC verdelen in 6 kleine driehoekjes met dezelfde oppervlakte.
- Maak de bovenstaande constructie in PeL. Vergelijk bij elke zwaartelijn de lengte van de twee lijnstukken waarin de zwaartelijn binnen de driehoek verdeeld is, bvb. GM3 en BG. Laat deze lengten zien (bvb. via het 'wiskundige uitdrukking' gereedschap) en trek conclusies.
Hoogtelijnen
Een hoogtelijn is een rechte door een hoekpunt loodrecht op de overstaande zijde. Ook deze drie hoogtelijnen gaan door een gemeenschappelijk punt: het hoogtepunt of orthocentrum H. De punten D, E en F noemen we de voetpunten van de hoogtelijnen. Als je deze drie voetpunten verbindt, krijg je de kleine groene driehoek, die de orthische driehoek genoemd wordt.
Bissectrices
In een driehoek kan je ook drie bissectrices van de hoeken tekenen. Deze rechten gaan door een hoekpunt en delen die hoek in twee. Als we dit willen tekenen, merken we op dat er geen gereedschap bestaat om een bissectrice te tekenen. De naam van het programma 'Passer en Liniaal' indachtig hoeft dat niet echt een probleem op te leveren. Met enkele cirkels en snijpunten is de bissectrice snel getekend.
Het is wel tijdrovend om deze constructie drie keer te doen. In een computerprogramma zouden we zoiets dan in een functie, methode of deelprogramma stoppen. Je kan dit dan drie keer oproepen. PeL heeft een vergelijkbaar mechanisme: macro's.
Bij een macro is het de bedoeling dat je de constructie 1 keer uitvoert. Als de constructie klaar is, definieer je de macro. Je geeft aan wat de beginvoorwerpen zijn, en je geeft ook de einddoelen aan. Macro's worden samen met een constructie bewaard in PeL, maar je kan ze ook apart bewaren.
Hieronder tonen we eerst de constructie van de macro.
Bij de definitie van de macro ga je als volgt tewerk. De macroparameters ('de startobjecten') zijn hier de drie punten A, B, C (volgorde kan belangrijk zijn bij het uitvoeren van de macro!). Het macrodoel — hier is er maar 1 doel, maar er kunnen ook meerdere objecten macrodoel zijn — is de blauwe rechte: de bissectrice van de hoek gevormd door A, B en C. Het is een goed idee om de macro ook apart als macro te bewaren, want dat maakt het gemakkelijker om deze macro in te laden in een andere constructie.
Op de figuur hieronder maken we nu drie keer gebruik van de net gedefinieerde macro om de drie bissectrices van een driehoek te construeren.