Extremumproblemen in P.e.L.
Opgelost voorbeeld: maximale omzet
Vraagstuk
Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen €15 per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop met gemiddeld 500 stuks zal stijgen als de prijs met €1 verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te bekomen?
Oplossing
De oplossing in P.e.L. ziet er als volgt uit:
Als vrije paramater hebben we de prijs gekozen. De rode staaf geeft de grootte van die prijs aan, de blauwe het aantal stuks dat verkocht wordt (per duizendtal), en de groene de omzet (te vermenigvuldigen met de factor 10000). De hoogte van de prijs kan veranderd worden door het rode punt in de linkerbovenhoek naar boven en onder te bewegen (linkermuisknop).
In de rechterhelft van de figuur wordt de verhouding prijs - omzet nogmaals weergegeven in functievorm. Het groene punt heeft als coördinaten hoogte rode staaf - hoogte groene staaf. De kromme is de functie f(x)=x·(5000+(15-x)·500)/10000. Voor gegeven prijs x is y=f(x) de omzet die gerealiseerd wordt (benadering met functies).
Wanneer je de prijs verandert, vind je dat de maximale omzet gelijk is aan €78125. Ze wordt bereikt bij de verkoop van 6250 stuks aan €12.50 per eenheid.
Je kan de oplossing ook zoeken met behulp van functies. De hierboven beschreven functie f(x) is een tweedegraadskromme (parabool): f(x)=(-500 x²+12500 x)/10000 met als domein [0,25]. De top van de parabool (i.e. de prijs die de hoogste omzet oplevert) bevindt zich op x=-12500/(2·(-500))=12.5. Dit punt ligt in het domein, en is bijgevolg de gezochte oplossing. De overeenstemmende omzet is gelijk aan 10000·f(12.5)=78125. Het verkochte aantal eenheden is gelijk aan 5000+(15-12.5)·500=6250.
Constructie
- Om alle staven netjes op dezelfde hoogte te zetten: construeer eerst een hulprechte op de x-as, en veranker de basissen van de staven op deze rechte.
- Opdat je de hoogte van de rode staaf zou kunnen veranderen: construeer eerst een loodrechte op de x-as, en veranker het punt "prijs" op deze rechte.
- De staven zelf zijn rechthoeken, geconstrueerd met evenwijdige en loodrechte rechten.
- De hoekpunten linksboven van de andere staven liggen eveneens verankerd op een loodrechte op de x-as. De hoogte is bepaald als snijpunt van deze rechte met een cirkel met vaste straal met middelpunt hoekpunt linksonder. De straal van de cirkel voor de blauwe staaf bijvoorbeeld is gelijk aan een functie van de hoogte van de rode staaf. Om deze hoogte te bepalen: benoem eerst het hoekpunt linksbeneden (bijv. A); de hoogte is dan gelijk aan d(A,prijs).