Extremumproblemen in P.e.L.

Opgelost voorbeeld: kortste afstand tot een parabool

Vraagstuk

Dit vraagstuk is eerder abstract, maar wordt aangehaald om de mogelijkheden van P.e.L. te tonen.

Een punt p doorloopt de parabool y=x²/a (a>0). Bepaal de plaats van p zodat de afstand van p tot q(0,b) minimaal of maximaal is. Probeer verschillende waarden voor b!

Oplossing

De oplossing in P.e.L. ziet er als volgt uit:

De waarde van a en b is respectievelijk gelijk aan de afstand d(A,B) en d(C,D). Je kan b wijzigen door het punt D te verschuiven met de rechtermuisknop. Je merkt dat er - afhankelijk van de waarde van b - één minimum mogelijk is, ofwel twee maxima en een minimum.

Constructie

De belangrijkste moeilijkheid van deze constructie ligt in de parabool. We leggen deze even uit:

  1. Teken een rechte op de x-as (blauwe rechte).
  2. Construeer een punt x op deze rechte. De x-coördinaat van dit punt is gegeven door x(x).
  3. Een punt p op de parabool heeft coördinaten (x,y=x²/a). Maak dus het vaste punt p met coördinaten (x(x),x(x)²/d(A,B)).
  4. Je bekomt de parabool door het punt x al dan niet automatisch te verschuiven over de x-as, en het punt p te volgen.

Merk op dat we de constanten a en b bepalen aan de hand van afstanden tussen twee punten. Op die manier kunnen a en b gemakkelijk gewijzigd worden (rechtermuisknop).