Extremumproblemen in P.e.L.
Uitgewerkt voorbeeld
Een extremumprobleem oplossen in P.e.L. is niet moeilijk, maar vraagt een specifieke werkwijze. Op deze pagina leggen we de constructie om tot een oplossing te komen stap voor stap uit.
Vraagstuk
We behandelen volgend vraagstuk:
Een koordje van 40 cm lang wordt in twee delen geknipt. Met één gedeelte wordt een vierkant gemaakt; met het andere gedeelte een cirkel. Voor welke waarden van de zijde z en straal R is de som van de oppervlakte van beide figuren minimaal?
Stap 1 — Schets van het probleem
In deze stap probeer je het vraagstuk te begrijpen en te schetsen. Je maakt best een tekening van de gegevens, bijvoorbeeld zoals hieronder:
Je ziet het koordje AB dat in tweeën geknipt is in C. De zijde van het vierkant bedraagt d(A,C)/4 terwijl de straal van de cirkel gelijk is aan d(C,B)/(2⋅π).
Hoe construeer je dit nu in P.e.L.? Bekijk de applet opnieuw en speel de constructie stapsgewijs af.
Je merkt de volgende stappen:
- Teken het lijnstuk AB met vaste lengte 40 (maak eerst een rechte, en pas dan 40 af met een cirkel met vaste straal) en construeer het punt C op die rechte.
- Maak nu een vierkant met omtrek d(A,C). Construeer hiertoe het lijnstuk DE met vaste lengte gelijk aan d(A,C)/4. Op dit lijnstuk construeer je een vierkant (met loodlijnen en cirkel van vaste straal).
- Tenslotte maak je een cirkel met omtrek gelijk aan d(C,B). Maak daarom de cirkel c met middelpunt H en vaste straal gelijk aan d(C,B)/2π.
Door deze constructie kan je de omtrek van het vierkant variëren door C te bewegen (in P.e.L. met rechtermuisknop, in de applet op de site met linkermuisknop). De omtrek van de cirkel zal zich automatisch aanpassen. Met een wiskundige uitdrukking kan je aantonen dat de som van de zijden van het vierkant en de omtrek van de cirkel altijd gelijk is aan 40.
Stap 2 — Oplossing aflezen aan de hand van de constructie
Hoe kan je nu de oplossing van het vraagstuk bepalen met P.e.L.? Het antwoord is vrij eenvoudig: functies komen er zelfs niet aan te pas.
- Activeer de grid op het P.e.L.-scherm en verschuif de geconstrueerde figuren in het kwartaal linksboven (negatieve x, positieve y).
- Ga ervan uit dat de zijde van het vierkant de basisveranderlijke is.
- Construeer een vast punt met als x-coördinaat deze basisveranderlijke (dus x=d(A,C)/4), en als y-coördinaat de som van de oppervlakten. Deze is gelijk aan (d(A,C)/4)²+π⋅((d(C,B)/(2⋅π))².
- Als je het punt C beweegt, beweegt het punt dat je net geconstrueerd hebt. Beweeg het punt totdat je de minimale y-waarde gevonden hebt. De x-coördinaat geeft je de waarde van de zijde van het vierkant waar de som van de oppervlakten minimaal is.
- Kan je het punt dat je geconstrueerd hebt niet vinden op je figuur? Controleer dan eerst de schaal (zoom eventueel in met + en -). Als de straal van de cirkel gelijk is aan nul, zal de som van de oppervlakten gelijk zijn aan 100. Gaat de y-as tot die waarde? Je kan de y-coördinaat ook herschalen met bijvoorbeeld een factor 10 zoals we gedaan hebben in de andere voorbeelden.
- Geen zin om zelf te schuiven met C? Gebruik dan het gereedschap "volg voorwerp automatisch". Het te volgen punt is het vaste punt dat je geconstrueerd hebt, de te volgen rechte is de rechte AB en het punt dat bewogen wordt is C.
Als je bovenstaande stappen volgde, heb je de volgende constructie bekomen (zonder automatisch volgen):
Als je C verschuift kan je inderdaad gemakkelijk de gezochte oplossing aflezen. De kleinst mogelijke som van de oppervlakten is gelijk aan 56. De zijden van het vierkant zijn dan gelijk aan 5.6. Het is weinig zinvol in je oplossing veel cijfers na de komma te noteren: de nauwkeurigheid van de oplossing is immers nooit groter dan de resolutie van de figuur.
Merk op dat er ook een betekenisvolle grootste som gevonden wordt: als de zijde van het vierkant nul is - er blijft dan enkel een cirkel over - is de oppervlakte gelijk aan π·1600. Je kan dit antwoord niet vinden met afgeleiden, aangezien het punt 0 op de grens van het toegelaten interval ligt.
Stap 3 — Oplossing vergelijken met de theorie
Als je de constructie correct uitvoerde, vind je (eventueel na inzoomen) een vrij goede benadering van de oplossing. Functies zijn er helemaal niet aan te pas gekomen. Nochtans kaderen extremumproblemen meestal in dit thema. Dit hoeft geen probleem te zijn, want in P.e.L. kan je ook functies tekenen.
Indien we de basisveranderlijke (zijde vierkant) x noemen, is de som van de oppervlakten gelijk aan f(x)=x²+π·((d(A,B)-4·x)/(2·π))². In onderstaande applet is deze functie getekend. Je ziet dat het vaste punt van de vorige stap zich mooi over deze functie beweegt. (Beweeg C met de linkermuisknop.)
De hierboven beschreven functie is een tweedegraadsfunctie (parabool) met top gelijk aan x=(80/π)/(2·(1+4/π))=5.6. De corresponderende som van de oppervlakten is gelijk aan 56. Deze oplossing komt overeen met hetgeen we in de applet afgelezen hadden.
Schijnbaar vloeien theorie en applet in dit probleem netjes in mekaar over. We dienen wel een belangrijke kanttekening te maken. In de theorie vertrek je weliswaar van de zijde van een vierkant om de veranderlijke x te definiëren, maar eens je aan het rekenen bent, gaat de fysische betekenis van x helemaal verloren. Je ben immers aan het rekenen met een tweedegraadsfunctie, en het domein van zo'n functie is de verzameling van reële getallen. Met andere woorden: alle waarden van x - positief, negatief, groot of klein - kunnen voorkomen. Het is daarom erg belangrijk dat je - eens je het probleem theoretisch opgelost hebt - theorie en applet terug naar mekaar brengt en controleert of de gevonden oplossing wel kan in de praktijk. We stellen daarom volgende werkwijze voor:
- Bepaal de parameter die je gebruikt als veranderlijke x.
- Schrijf de beperkingen voor deze parameter op. In dit voorbeeld: 0<x<10.
- Zoek de functie die minimaal/maximaal gemaakt moet worden.
- Schrijf het domein van de functie op, rekening houdend met de beperkingen in het tweede puntje.
- Zoek het minimum van de functie. Voor een tweedegraadsfunctie y=ax²+bx+c is dat de top x=-b/2a.
- Controleer of het gevonden minimum in het domein ligt.