Meetkundige plaatsen en animaties
Drie stangen en vier scharnieren
We bekijken onderstaande constructie. Ze bestaat uit drie stangen die met scharnieren aan elkaar of aan een vast punt verbonden zijn. Het eindpunt van een stang die in een scharnierpunt vrij kan ronddraaien, beschrijft een eenvoudige meetkunde plaats, namelijk een cirkel.
Via de rechtermuisknop kan je de constructie stap voor stap bekijken. Je kan de lengte van de drie stangen apart aanpassen door de drie lijnstukken bovenaan wat korter of langer te maken. De twee 'voetpunten' (vaste scharnierpunten) van de stangenconstructie kan je ook verslepen want het zijn vrije punten.
Je merkt waarschijnlijk wel dat er posities zijn van het punt 'beweeg me' waarvoor de constructie niet kan, omdat er geen snijpunten zijn tussen twee van de cirkels (die met de bruine en die met de groen straal).
Animatie
In een eerste stap animeren we de constructie. Dit wil zeggen dat je een bepaald punt laat bewegen op een rechte of cirkel. Op die manier kan je de beweging die je in bovenstaand applet met de hand deed, nu automatisch laten lopen. Het resultaat zie je in volgend applet:
Een belangrijk verschil met het eerste applet is dat je in een animatie niet meer kan ingrijpen op de constructie. Rechtsklikken heeft geen effect meer. Je kan geen vrije punten bewegen,... Het enige wat je kan in een geanimeerd applet is de animatie stoppen of terug starten met een muisklik.
Volg punt of rechte
We zoeken nu de baan die het midden van het groene lijnstuk beschrijft als we de constructie veranderen door het punt 'beweeg me' te verslepen. We noemen dit 'de meetkundige plaats van het punt'.
Je klikt eerst op het punt dat je wil volgen en vervolgens op het punt dat bewogen wordt. Het resultaat zie je in het volgend applet. Beweeg het eindpunt van de blauwe stang en volg hoe er een stukje kromme getekend wordt door het midden van de groene stang.
Er zijn enkele problemen:
- Als je het punt te snel versleept, is de getekende kromme niet erg mooi, maar eerder een opeenvolging van lijnstukjes. Hoe kan je dit verklaren?
- In de constructie hebben we moeten kiezen tussen twee snijpunten (van de cirkel met de groene en die met de bruine straal). Via dit 'volg punt of rechte' werktuig kunnen we enkel de constructie bewegen gebruik makend van dit ene snijpunt. Het resultaat is dat je maar een stukje van de volledige meetkundige plaats kan doorlopen. Een oplossing voor dit probleem vind je in volgende paragraaf.
Volg punt of rechte automatisch
Je kan de meetkundige plaats ook volledig laten berekenen door PeL. De hierboven opgesomde nadelen verdwijnen:
- Je bekomt een mooie kromme waarvan je niet meer zo goed kan zien dat die eigenlijk ook als een opeenvolging van kleine lijnstukjes getekend is.
- PeL houdt rekening met alle snijpunten. Als er in de constructie keuze was tussen twee snijpunten, dan worden beide gebruikt.
Net zoals bij een animatie is ook hier de interactie met het applet erg beperkt. Het gedrag wijkt wel lichtjes af van wat er bij een animatie gebeurt. Na de eerste muisklik blijft de animatie voortlopen, maar de meetkundige plaats wordt niet meer getekend. Je doorloopt wel alle mogelijke 'standen', wat soms toch wel interessant is. Nog een tweede muisklik in het applet doet de constructie stilvallen, maar de kromme (de meetkundige plaats) wordt wel terug getekend.
We merken ook nog op dat de meetkundige plaats verdwijnt als je iets nieuw wil construeren in je tekening. Als je ze toch wil behouden, kan dat via Acties->Bewaar meetkundige plaats (sneltoets: shift + enter).
Deze kromme noemt men een lemniscaat. Meer info hierover vind je wel op het internet (zoek bvb. op "lemniscate of bernoulli"). Je kan vanzelfsprekend ook constructies met vier of meer stangen bedenken. De resulterende meetkundige plaats wordt dan al snel een exotische kromme.